1966 yılında İstanbul’da doğan Murat Özyer, Galatasaray Lisesi’nde okuduğu dönemde basketbolla ilgilenmeye başladı. 1983-1993 yılları arasında Galatasaray Spor Kulübü’nde altyapı kategorilerinde antrenörlük yaptı. Bu süreçte Galatasaray Lisesi’nin ortaokul takımını da çalıştırdı. 1993-2003 yılları arasında Ülkerspor’un altyapısında antrenör olarak kariyerini sürdürdü.

2006 yılının mart ayında, teknik ekibinde yer aldığı Ülkerspor’da başantrenörlük görevine getirilen Özyer, takımını Türkiye Basketbol Ligi’nde şampiyonluğa taşıdı. 2006-2009 seneleri arasında Galatasaray Cafe Crown Başantrenörü olarak kariyerine devam etti. 2009-2010 sezonunda Türk Telekom’da 2011-2012 sezonunda ise TED Kolejliler’de başantrenör olarak çalıştı. Bu iki takımı da 2. Lig’den, 1. Lig’e şampiyon olarak çıkarma başarısını gösterdi. 2012-2015 yılları arasında Galatasaray Spor Kulübü Basketbol Şubesi Koordinatörü olarak görev aldı. Sarı-kırmızılılar, bu süreçte erkeklerde ve kadınlarda Süper Lig şampiyonluğu, kadınlarda Türkiye Kupası şampiyonluğu kazanırken, Galatasaray Kadın Basketbol Takımı, Euroleague’de şampiyon olarak kulüp tarihinin en önemli başarılarından birini elde etti.

Milli Takım kariyeri genç yaşta başlayan Murat Özyer, Yıldız Milli Takım ve Ümit Milli Takım’da yardımcı antrenörlük, Genç Milli Takım’da antrenörlük yaptı. Özyer, 2001 yılında Avrupa Şampiyonası’nda ikinci olan A Milli Takım’ın da teknik kadrosunda yer aldı.

2019’da Darüşşafaka Spor Kulübü Altyapı Koordinatorlüğü görevini üstlenen Murat Özyer, TBF Eğitim Kurulu Genel Sekreterliği ve TÜBAD’da başkan vekilliği vazifelerini de yürütüyor.

Murat Özyer, başantrenör olarak 2006’da Ülkerspor’u şampiyonluğa taşıdı.	Murat Özyer’in çalıştığı kulüpler arasında TED Kolejliler de var.	Galatasaray, Murat Özyer’in şube koordinatörlüğü yaptığı dönemde basketbolda önemli başarılara imza attı.