Türkiye şampiyonu ve Türk tenisinin unutulmaz yöneticisi. 1926 yılında İstanbul’da doğdu. İlkokulu Şişli Terakki’de, ortaokulu ve liseyi Galatasaray Lisesi’nde bitirdi. Tenise Büyükada’da başladı. 1943’te İstanbul gençler birincisi oldu. 1946’dan itibaren aralıksız olarak tam 20 yıl boyunca Türkiye şampiyonalarında raket salladı. 1956’da dönemin bir numaralı ismi ve çiftlerdeki partneri Nazmi Bari’yi yenerek tek erkeklerde Türkiye şampiyonluğunu kazanırken, 12 yıllık periyotta bu şampiyona dahilinde Bari’yi mağlup edebilen tek isim oldu.

1950’ler boyunca 10 yıl üst üste çiftlerde Türkiye şampiyonluğu bulunan Cevanşir, ömrünün yarım asrını verdiği TED Kulübü'ne 1984’te başkan oldu ve vefatına kadar aralıksız olarak bu kulüpte görev yaptı. TED Open'ın büyümesinde ve aralarında Roy Emerson, Ilie Nastase, Ion Tiriac gibi isimlerin de bulunduğu dönemin en büyük tenisçilerinin Türkiye'ye gelmesinde önemli rol oynadı. Ayrıca Türkiye Tenis Federasyonu asbaşkanlığı da yapan Cevanşir, Milliyet gazetesinde tenis yazıları kaleme aldı.

Kulak-Burun-Boğaz alanında Türkiye'nin sayılı hekimlerinden biri olarak kabul edilen Prof. Dr. Cevanşir, 40 yılı aşkın süreyle Çapa Tıp Fakültesi’nde hizmet verdi. 300 civarında (40’ı yurt dışında) bilimsel makalesi, 7 tane kitabı yayınlandı.29 Kasım 1999'da İstanbul'da vefat etti. Kulübü TED, her yıl onursal başkanlarının ismini verdikleri uluslararası gençler tenis turnuvası düzenlemeye devam ediyor.

Behbut Cevanşir, TED Kulübü'nün efsane oyuncu ve antrenörlerinden yakın dostu Fehmi Kızıl ile.	1986'da Galatasaray Teknik Direktörü Jupp Derwall ile kulüpte.	1994'te TED'deki Tenis Europe Turnuvası’nda birinci olan İpek Şenoğlu'na ödülünü verirken.