1913 yılında İstanbul'da doğdu. Babası Türkiye'nin ilk futbol takımı olan Blackstocking FC'nin reisi Dr. Rasim Paşa'ydı. Aynı Rasim Paşa Galatasaray'ın kuruluşunda Ali Sami Bey'e de yardımcı olmuştu.

Melih Açba, 1923'te 10 yaşındayken iki abisi gibi Galatasaray Lisesi'ne verildi. Boksa lisede başladı. 61 kiloda İstanbul şampiyonluğuna ulaştı. Antrenörü, ondaki boks yeteneğini keşfeden Eşref Şefik'ti. 1934 yılında Galatasaray Lisesi'nden mezun olan Açba, 1936’da Yugoslav ve Rumen rakiplerine karşı aldığı galibiyetlerle büyük sükse yaptı. ABD’de üniversite eğitimi sırasında çok sevdiği boks sporuna devam etmek için eski dünya şampiyonu Jack Dempsey'e başvuran Melih Açba, onun yönlendirmesiyle Katolik Gençlik Örgütü formasıyla yeniden ringlere döndü.

1940 yılında ABD'nin en büyük amatör boks şampiyonası olan New York Golden Gloves'a katıldı. Bu turnuvada 66 kiloda mücadele eden Melih Açba, şampiyonluk yolunda 8 rakibini yenerek finale kalmayı başardı. Finalde karşısına Amerikalı Benny Fallica çıktı. Melih Açba, 19 Şubat 1940'ta ünlü Madison Square Garden'da, 17 bin 37 kişinin seyrettiği final maçında Fallica'yı sayıyla mağlup ederek Golden Gloves'ta şampiyon oldu.

Galatasaray Spor Kulübü'nde yöneticilik de yapan Melih Açba, Türkiye Boks Federasyonu’nda 7 yıl başkanlık koltuğunda oturan Açba, uluslararası boks hakemi olarak da ringlere çıktı. Melih Açba, 1988 yılında aramızdan ayrıldı.

Melih Açba, 1936'da İstanbul'da Rumen ve Yugoslav rakipleri karşısında aldığı galibiyetlerle büyük sükse yaptı.	Galatasaray tarihinde özel bir yeri olan Melih Açba, 1940'ta Golden Gloves'ta şampiyonluk kazandı.	Melih Açba, Türkiye Boks Federasyonu'nda başkanlık yaptı.